선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

단계 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

단계 2

Find the determinant.

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단계 2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

단계 2.2

행렬식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

단계 2.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - 1$

단계 2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

단계 2.2.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

단계 2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

단계 2.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 2}{2}$

단계 2.2.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1}{2}$

단계 2.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

단계 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 5

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 7

$- (1 \cdot 2)$ 을 곱합니다.

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단계 7.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 7.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 8

행렬의 각 원소에 $- 2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

단계 9

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

단계 9.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

단계 9.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

단계 9.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.4.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 9.4.2

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

단계 9.4.3

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$